Etudes et expérimentations

1. Étude théorique: courbe à prévoir, lieu d'arrivée, résistance à l'air ambiant

Simulateur (https://cjh.polyplex.org/rockets/simulation)

Nous avons paramétré un simulateur avec les données suivantes:

Et nous avons obtenu les résultats suivants:
 

Avec ces graphiques:

Altitude en mètres au cours du temps en secondes.

On peut voir ici que l’altidude fait une courbe parabolique normale avec une irrégularité au lancement, ce qui semble cohérent.

Vitesse en mètres par seconde au cours du temps en secondes.

On peut voir ici que la vitesse augmente brutalement entre 0 et 0.5 secondes puis descend sous forme d’une droite décroissante assez régulière.

Accélération en m/s² au cours du temps en secondes:

L’accélération, en tant que dérivée de la vitesse, augmente fortement jusqu’à environ 0.5 seconde, puis la fusée ralentit (la courbe passe au-dessous de 0) ensuite la courbe entame une longue pente ascendante (la fusée chute).

Et enfin la poussée en newton en fonction du temps en secondes:La courbe de la poussée démarre avec une valeur considérable: 110N puis la poussée est de moins en moins importante jusqu’à ce qu'il n'y ait plus d'eau dans la fusée (à partir de 394 ms la poussée est assurée par l'air, voir III 3.). L'air avec sa masse beaucoup plus petite fournit une poussée beaucoup moins importante en sortant de la fusée (ce qui respecte la troisième loi de Newton). 

 2. Lancement de la fusée avec les composants électroniques et le système de déploiement de parachute.

Lors du premier lancement de la fusée, enfin prête pour le lancement, le parachute ne s’est pas déployé même si nous avions armé le système de déploiement et soumis ce dernier à de nombreux tests auparavant.

 Le fonctionnement du système était le suivant : l’altimètre donne une impulsion au composant Texas instruments quand la fusée redescend, puis le moteur Servo libère une porte qui retient le parachute (une paroi de bouteille tordue dans le « mauvais sens » qui, comme elle veut revenir à la forme initiale, éjecte le parachute une fois que la porte est relâchée par le moteur Servo). Nous avions fait des tests de l’altimètre sous cloche à vide (qui ont bien marché, se référer au II. 4) et puis grâce à la fonction de déploiement manuel du parachute (on appuie sur un bouton pour faire tourner le moteur Servo, contournant ainsi l’altimètre ce qui permet de faire des tests sans cloche, ce qui est important car nous n’avions pas de cloche à vide assez grande pour tout le dispositif) nous avons pu vérifier si le parachute sortait bien de la bouteille sans accrocs. 

Tous nos tests ce sont bien passés mais une fois que nous avons lancé la fusée elle s’est écrasée sur le sol sans que l’élastique qui retenait la porte du parachute ne puisse se détacher : nous pensons qu’il y a eu un souci avec l’eau qui est sorti de la bouteille à gros débit, peut-être qu’une goutte s’est retrouvée sur le circuit électronique (qui devait être assez accessible à l’air pour faire fonctionner l’altimètre : l’eau peut donc entrer facilement aussi) et a causé un court-circuit : en effet, lorsque nous avons essayé de réparer le système nous nous sommes rendu compte que le Servo ne pouvait plus faire de rotation. 

De plus l’altimètre a mesuré une altitude maximale de 95m, ce qui était possible vu les résultats de la communauté de USwaterrockets et Aircommand (voir liens). Le Servo a donc dû recevoir un signal corrompu de la carte Texas Instruments lorsque la fusée a commencé à redescendre, même si la partie responsable de la mesure du d’altitude maximale a bien marché. 

Nous sommes donc incapables de faire des études comparées poussées des différents lancers que nous avons pu faire après avoir retiré la coiffe (et donc l’altimètre) pour la remplacer avec une autre, vide (et puis avec des cailloux pour balancer la fusée : sans eux nous avions le même problème qu'au II. 1, la bouteille tourne plusieurs fois sur elle-même et n’atteint pas une altitude très élevée). Cependant, grâce au logiciel « Tracker » développé pour l’enseignement de la physique, nous pouvons analyser des fragments vidéo et savoir la vitesse, l’accélération et l’altitude au cours du temps.

Problème: Non déclenchement du parachute lors du premier essai et cassure de la coiffe

Solution: Autre coiffe, avec masse plus ou moins égale de cailloux dedans.

3.Études mathématiques du comportement de la fusée

Pour une fusée à air comprimé, il faut éjecter une masse d’eau avec une vitesse suffisante pour la propulser dans l'autre sens (avec la pression du réservoir)

Problème: calculer la poussée de la fusée.

Solution: Théorème de Bernouilli

Considérons un instant Δt lorsque notre fusée est prête au décollage, à la surface entre l’eau et l’air, une pression p1, une surface s1 (celle de la bouteille) et une vitesse v1.

Soit l'instant Δt2 ou l’on tire sur le raccord gardena pour expulser la fusée: on a une pression p2=patm qui est la pression atmosphérique, une surface qui rapetisse : s2 qui est la surface de la tuyère (le goulot) et une vitesse d'éjection de l'eau qui a augmenté: v2.

La compressibilité de l’eau étant impossible le débit à t est égal au débit à t2.
D’où: S1xV1 = S2xV2 soit 
Ainsi d’après de théorème de Bernouilli qui énonce:

« Pour un écoulement
-incompressible (la masse volumique reste constante),
-irrotationnel (le rotationnel de la vitesse du fluide est nul, ce qui implique un écoulement non tourbillonnaire et un champ de vitesse dérivant d'un potentiel),
d'un fluide parfait (les effets visqueux sont négligeables, tout comme les pertes de charge).
Alors, en régime permanent, si l'on néglige les transferts de chaleur, on vérifie: » (source: Wikipédia)

On peut calculer la poussée avec la relation suivante:

Dans le cas de notre fusée, P1 pression absolue dans la bouteille de 8Bar, P2 la pression atmosphérique, avec un goulot de 10mm de diamètre, la poussée initiale est:
(2*800000*3.14.0.010²)/4 = 125.6 N (environ de ce que l’on trouve avec le simulateur (111N), qui prend en compte plus de paramètres que l’on a ici négligés).

Calcul du temps avant l’écoulement total de l’eau:

Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S. (source: mécanique des fluides)

Il en résulte la relation: qV = v.S avec qV en m3 /s , v en m/s et S en m²

On a dans notre cas  qV= 40*(3.1416*0.010²)/4= 0.0031416 m3/s soit environ 3.1416 L/s

Notre fusée contenant un volume d’eau de 1L, il devrait donc être expulsé en 1/3,1416=0.318s=318ms. On trouve 394ms avec le simulateur.

Calcul de la vitesse du crash:
Assumons que la fusée ait son apogée à 62.71m (simulateur):
En supposant que le corps n'est soumis qu'à la pesanteur, si un corps ponctuel P est lâché d'un point de cote z₀ sans vitesse initiale et si l'axe des z est orienté vers le haut, alors la vitesse V à l'impact est donnée par:   avec z la hauteur du corps par rapport au sol, g=l'accélération du champ de pesanteur terrestre (environ 9,81 m.s^-2).

Pour notre fusée:  soit 126,3 km/h. Le simulateur nous dit: 118 km/h.

N’ayant pas vu les systèmes à masse variable et les intégrales, (programme post-bac et terminale) nous n’avons pas pu retrouver l’accélération moyenne, l’altitude maximale et quelques valeurs trouvées avec le simulateur.

4. Optimisation si possible de la trajectoire (plus ou moins d'eau/pression, balancer la fusée) à partir des données fournies par l'altimètre embarqué et les enregistrements vidéo

Lancement avec les composants électroniques et le parachute dans la coiffe : ce lancement et les suivants ont atteints des altitudes considérables, et ainsi la fusée est sortie assez vite du champ d’action de la caméra : on ne peut étudier que le début du lancement
Ce graphique représente la vitesse (courbe rouge vers le haut, avec la ligne noire pour donner une idée de ce que serait cette courbe si le pointage était parfait) et l’altitude (ensemble de carrés rouges vers le bas) en fonction du temps. On constate que la fusée monte de plus en plus vite.

Ce graphique représente la vitesse en fonction du temps de la fusée avec une coiffe vide, on peut imaginer une droite comme dans le graphique précédent. On remarque qu’ici la vitesse décroît, alors que le champ d’action de la caméra reste le même. La fusée monte de moins en moins vite car elle est déstabilisée et donc perd de la performance en tournant.

Lancement avec une coiffe remplie de cailloux : 

La courbe (en haut) représente la vitesse (qui contrairement au lancement sans cailloux augmente au cours du temps). Ce lancement est donc beaucoup mieux que celui sans cailloux.

Un problème rencontré dès le début de nos expériences est la stabilité de la fusée. Il faut rajouter de la masse dans la coiffe pour faire en sorte que la fusée ne tourne pas sur elle-même (si il n’y a pas les composants électroniques) : nous avons donc rajouté des cailloux (voir vidéo).Se référer aux graphiques ci-dessus.

Nous avons varié la pression dans la bouteille, pour voir si un changement de pression pouvait changer le comportement de la fusée, avec la certitude qu'une fusée moins pressurisée aillait moins haut. En effet la fusée semblait aller moins haut avec une fusée pressurisée à 6 bar qu'avec une fusée pressurisée à 8bar. 

Il faut choisir entre l'énergie emmagasinée par l'air pressurisé suite à la différence de pression d'air ou l'eau qui servirait de masse éjectée de la bouteille pour apporter de la poussée à la fusée : nous avons mis plus ou moins 2/3 d'eau dans la fusée pour ensuite n'en mettre qu'un quart, et il s'est avéré qu'un 1/3 du volume de la fusée était le compromis idéal et que la fusée allait plus haut. 

Enfin nous avons réfléchi à mettre un autre "carburant" dans la fusée, comme des nouilles bouillies, et nous avons renoncé parce que les nouilles allaient boucher la sortie d'eau et des pâtes seraient restés dans la bouteille.